平均・比率の検定：1標本・2標本・対応あり/なし・ABテスト

Stage 2 — 第11章 | 統計検定2級チートシート推定学習時間：70〜85分 | 難易度：★★★★☆

この章で学ぶこと

統計検定2級で頻出するのが、母平均と母比率に関する検定です。1標本か2標本か、対応があるかないか、母分散が既知か未知か、等分散を仮定するかどうかで、使う検定統計量が変わります。

この章では、公式を個別に覚えるのではなく、「何を比較しているか」「分母の標準誤差は何か」「どの分布を参照するか」で整理します。

この章を終えると、こんなことができるようになります：

1標本の母平均検定で、z検定とt検定を使い分けられる
2標本平均差の検定で、対応あり・対応なしを区別できる
等分散仮定ありの2標本t検定でプール分散を使える
Welch型の考え方を補足として説明できる
母比率と母比率の差の検定を、二項分布の正規近似として理解できる

1. 平均・比率の検定を選ぶ軸

最初に、検定選択の軸を整理します。

観点	選択肢
対象	平均 / 比率
標本数	1標本 / 2標本
2標本の関係	対応あり / 対応なし
分散	既知 / 未知
2標本分散	等分散を仮定 / 仮定しない
対立仮説	片側 / 両側

問題文を読んだら、いきなり公式に飛びつかず、この表のどこに該当するかを確認します。

2. 1標本の母平均検定

2.1 母分散が既知の場合

母平均が基準値 $\mu_0$ と等しいかを検定します。

H_0:\mu=\mu_0

母分散 $\sigma^2$ が既知なら、検定統計量は、

Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}

です。帰無仮説のもとで、

Z\sim N(0,1)

となります。

なぜこの式になるのか

検定統計量は「観測された差」を「その差がどれくらい自然に揺れるか」で割ったものです。1標本平均では、観測された差は $\bar{X}-\mu_0$ です。

母分散が既知なら、標本平均の標準誤差は $\sigma/\sqrt{n}$ なので、

Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}

になります。分母は個々のデータの標準偏差ではなく、標本平均の標準誤差です。

2.2 母分散が未知の場合：1標本t検定

母分散が未知の場合は、標本標準偏差 $S$ を使います。

T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}

帰無仮説のもとで、

T\sim t_{n-1}

です。

母分散が未知なのに標準正規分布を使わない理由は、$S$ による分散推定の不確実性があるためです。

$S$ を使うだけでは終わらない

母分散が未知なら $\sigma$ の代わりに $S$ を使います。ただし、$S$ 自体も標本から計算したランダムな値です。そのため、分母にも不確実性が入り、標準正規分布ではなくt分布を参照します。

この違いを理解しておくと、「母分散既知なら $Z$、未知なら $T$」を単なる暗記ではなく、分母の不確実性の違いとして整理できます。

関連教材（青の統計学）

母平均の区間推定と検定 - 正規分布と標準誤差の概念（記事）

t検定とは？（動画）

【t検定】t統計量(t値)の求め方（記事）

3. 2標本平均差の検定：対応なし

2つの独立した母集団の平均に差があるかを調べます。例えば、A群とB群で平均点が異なるかを検定する場面です。

帰無仮説は、

H_0:\mu_1-\mu_2=0

です。

3.1 等分散を仮定する場合

2つの母分散が等しいと仮定できる場合、プールされた標本分散を使います。

S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}

検定統計量は、

T=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}

です。帰無仮説のもとで、

T\sim t_{n_1+n_2-2}

となります。

分母は「2つの標本平均の差の標準誤差」です。差を検定しているので、標準誤差も差に対応した形になります。

プール分散は何をしているのか

等分散を仮定する場合、2つの母集団は同じ分散を持つと考えます。そのため、2つの標本分散を別々に扱うのではなく、サンプルサイズと自由度で重み付けして1つの分散推定量にまとめます。

これがプール分散です。単純平均ではなく、$(n_1-1)$ と $(n_2-1)$ で重み付けするのは、それぞれの標本分散が持つ自由度を反映するためです。

3.2 等分散を仮定しない場合：Welch型

等分散を仮定しない場合は、各群の分散を別々に使います。

T=\frac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}

この統計量は、近似的にt分布を使って判断します。自由度はWelch-Satterthwaiteの近似で計算します。

\nu=\frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}

統計検定2級では、Welchの自由度を完全に暗記するより、「等分散を仮定しない場合はプール分散を使わない」と理解することが重要です。

Welch型の直感

等分散を仮定しない場合、2つの群のばらつきは別物として扱います。そのため、平均差の標準誤差は

\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}

のように、各群の不確実性を別々に足し合わせます。試験では、等分散ありならプール分散、等分散なしなら別々の分散、という分岐をまず押さえましょう。

関連教材（青の統計学）

【非等分散編】pythonでWelch(ウェルチ)のt検定をやってみた（記事）

効果量とは？サンプルサイズ設計を実務で使うには（記事）

4. 2標本平均差の検定：対応あり

対応ありのデータでは、同じ対象を前後で測る、またはペアになった対象を比較します。

例：

同じ人の研修前後のテスト点数
同じ店舗の施策前後の売上
双子やマッチングされたペアの比較

対応ありの場合は、各ペアの差を取って、差の平均が0かどうかを1標本t検定します。

差を、

\[ D_i=X_i-Y_i \]

と置きます。帰無仮説は、

H_0:\mu_D=0

です。検定統計量は、

T=\frac{\bar{D}}{S_D/\sqrt{n}}

で、自由度は $n-1$ です。

対応ありを対応なしとして扱うと、ペア内の情報を捨ててしまい、検出力が落ちる場合があります。

5. 母比率の検定

母比率 $p$ が基準値 $p_0$ と等しいかを検定します。

\[ H_0:p=p_0 \]

標本比率を、

\hat{p}=\frac{X}{n}

とすると、検定統計量は、

Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}

です。

帰無仮説のもとで、近似的に標準正規分布に従います。

Z\approx N(0,1)

ここで分母に $\hat{p}$ ではなく $p_0$ を使う点に注意してください。検定では、帰無仮説が正しいと仮定して標準誤差を計算するためです。

関連教材（青の統計学）

母比率の推定と検定（動画）

【統計検定でも頻出】母比率の差の検定と具体例（記事）

ABテスト分析ツール

6. 母比率の差の検定

2つの母比率に差があるかを検定します。ABテストで、AパターンとBパターンのクリック率やCVRを比較する場面が典型例です。

帰無仮説は、

\[ H_0:p_1-p_2=0 \]

です。

標本比率を、

\hat{p}_1=\frac{X_1}{n_1},\quad \hat{p}_2=\frac{X_2}{n_2}

とします。

帰無仮説のもとでは $p_1=p_2$ と仮定するため、プールした比率を使います。

\hat{p}=\frac{X_1+X_2}{n_1+n_2}

検定統計量は、

Z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}

です。

ABテストでは、この式が実務上もよく使われます。ただし、統計的に有意でも、効果量や事業インパクトが小さい場合は、意思決定として採用すべきとは限りません。

関連教材（青の統計学）

ABテスト分析ツール

サンプルサイズ設計ツール

統計的に有意とは？（動画）

7. 二項分布の正規近似との関係

母比率の検定では、成功数 $X$ が二項分布に従うことを背景にしています。

X\sim B(n,p)

二項分布の期待値と分散は、

\[ E[X]=np \]

\[ Var(X)=np(1-p) \]

です。標本比率 $\hat{p}=X/n$ の分散は、

Var(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n}

となります。

標本サイズが十分大きいと、中心極限定理により標本比率は近似的に正規分布に従います。このため、母比率の検定では標準正規分布を参照できます。

関連教材（青の統計学）

【完全版】二項分布をわかりやすく説明｜統計学（記事）

中心極限定理についてわかりやすく解説｜大数の法則との違い（記事）

8. 検定選択のまとめ

場面	検定統計量	参照分布
1標本平均、母分散既知	$(\bar{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n})$	標準正規分布
1標本平均、母分散未知	$(\bar{X}-\mu_0)/(S/\sqrt{n})$	t分布
2標本平均差、等分散	$(\bar{X}_1-\bar{X}_2)/(S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2})$	t分布
2標本平均差、非等分散	$(\bar{X}_1-\bar{X}_2)/\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}$	近似t分布
対応あり平均差	$\bar{D}/(S_D/\sqrt{n})$	t分布
1標本比率	$(\hat{p}-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$	標準正規分布近似
2標本比率差	$Z$ 統計量	標準正規分布近似

9. 試験で問われやすいポイント

母分散未知の母平均検定では、基本的にt分布を使う
等分散を仮定する2標本検定では、プール分散 $S_p^2$ を使う
対応ありでは、2群を別々に扱わず、差 $D_i$ の1標本検定にする
母比率の検定では、帰無仮説の $p_0$ を標準誤差に使う
母比率の差の検定では、帰無仮説のもとでプール比率を使う
片側・両側は、問題文の対立仮説から判断する

よくあるひっかけ： 2標本のデータが「同じ人の前後比較」なのに、対応なしの2標本t検定を使ってしまうミスがあります。対応の有無は、検定統計量そのものを変える重要条件です。

10. 次の章への接続

この章では、平均と比率の検定を扱いました。次の章では、母分散の検定、適合度検定、独立性検定を扱います。いずれもカイ二乗分布が中心になりますが、目的はそれぞれ異なるので、使い分けを意識しましょう。

関連教材（青の統計学）

統計検定2級レベルの演習

統計検定2級模試

この章のあとに解きたい演習

本文を読んだら、次の問題で「公式を選ぶ」「条件を読む」「計算する」練習に移りましょう。