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離散型確率分布：ベルヌーイ分布・二項分布・ポアソン分布

Stage 2 — 第6章 | 統計検定2級チートシート 推定学習時間：55〜70分 | 難易度：★★★☆☆

この章で学ぶこと

離散型確率分布は、「回数」「個数」「成功数」のように、値を一つひとつ数えられる確率変数を扱う分布です。統計検定2級では、ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布が特に重要です。

この章では、公式を丸暗記するのではなく、次の順番で整理します。

  • 何を数える分布なのか
  • どの条件で使えるのか
  • 期待値と分散はどうなるのか
  • 推定・検定ではどこにつながるのか

この章を終えると、こんなことができるようになります：

  • 離散型確率変数と確率質量関数の関係を説明できる
  • ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布の使い分けができる
  • 二項分布とポアソン分布の期待値・分散を計算できる
  • 二項分布のポアソン近似が使える条件を判断できる
  • 母比率の推定・検定で二項分布が背景にあることを説明できる

1. 離散型確率分布の基本

離散型確率変数は、取りうる値が $0,1,2,\ldots$ のように数えられる確率変数です。例えば「10回中の成功回数」「1時間あたりの問い合わせ件数」「不良品の個数」は離散型です。

離散型確率変数 $X$ の確率は、確率質量関数（PMF）で表します。

\[ P(X=x)=f(x) \]

確率として成り立つためには、次の2条件を満たします。

\[ f(x)\ge 0 \]
\[ \sum_x f(x)=1 \]

区間の確率は、取りうる値の確率を足し合わせます。

\[ P(a\le X\le b)=\sum_{x=a}^{b}f(x) \]

連続型分布では面積を積分で求めますが、離散型分布では「該当する点の確率を足す」と考えるのが基本です。

[図1] 離散型分布の使い分け ベルヌーイ分布、二項分布、ポアソン分布の形と用途を並べた図

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2. ベルヌーイ分布

2.1 何を表す分布か

ベルヌーイ分布は、結果が2通りしかない1回の試行を表します。

  • 成功 / 失敗
  • 表 / 裏
  • クリックする / クリックしない
  • 合格 / 不合格

成功を $1$、失敗を $0$ と置くと、成功確率 $p$ のベルヌーイ分布は次のように書けます。

\[ P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x},\quad x=0,1 \]

つまり、

\[ P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p \]

です。

2.2 期待値と分散

ベルヌーイ分布では、期待値と分散は次のようになります。

\[ E[X]=p \]
\[ Var(X)=p(1-p) \]

期待値が $p$ になるのは自然です。成功なら1、失敗なら0なので、平均的には「成功確率そのもの」が値になります。

分散 $p(1-p)$ は、$p=0.5$ のとき最大になります。成功確率が極端に0や1へ近づくと、結果がほぼ決まるためばらつきは小さくなります。

分散 $p(1-p)$ の出し方

ベルヌーイ分布では $X$ は0か1しか取りません。そのため $X^2$ も0か1で、実は $X^2=X$ です。したがって、

\[ E[X^2]=E[X]=p \]

分散の公式 $Var(X)=E[X^2]-E[X]^2$ を使うと、

\[ Var(X)=p-p^2=p(1-p) \]

となります。この導出を知っておくと、二項分布の分散 $np(1-p)$ も自然に見えます。

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3. 二項分布

3.1 何を表す分布か

二項分布は、成功確率 $p$ のベルヌーイ試行を $n$ 回繰り返したときの成功回数の分布です。

\[ X\sim B(n,p) \]

二項分布が使える条件は、次の3つです。

  1. 各試行の結果が成功・失敗の2通りである
  2. 各試行が独立である
  3. 成功確率 $p$ が毎回同じである

例えば、$n$ 人にアンケートを取り、ある政党を支持する人数を $X$ とすると、各人の支持確率を $p$ とみなせる場合に $X\sim B(n,p)$ と考えられます。

3.2 確率質量関数

$n$ 回中 $x$ 回成功する確率は、次の式で表されます。

\[ P(X=x)={}_nC_xp^x(1-p)^{n-x},\quad x=0,1,\ldots,n \]

各項の意味は次の通りです。

項 意味
${}_nC_x$ $n$ 回中、どの $x$ 回が成功するかの選び方
$p^x$ $x$ 回成功する確率
$(1-p)^{n-x}$ 残り $n-x$ 回失敗する確率

例） 成功確率 $0.4$ の試行を5回行い、ちょうど2回成功する確率は、

\[ P(X=2)={}_5C_2(0.4)^2(0.6)^3 \]
\[ =10\times0.16\times0.216=0.3456 \]

です。

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3.3 期待値と分散

二項分布では、成功回数 $X$ をベルヌーイ確率変数の和として考えます。

\[ X=X_1+X_2+\cdots+X_n \]

各 $X_i$ が独立で、$E[X_i]=p$、$Var(X_i)=p(1-p)$ なので、

\[ E[X]=np \]
\[ Var(X)=np(1-p) \]

となります。

試験では、確率質量関数だけでなく、期待値と分散をセットで問われます。特に母比率の推定・検定では、二項分布の分散 $np(1-p)$ が標準誤差の背景になります。

なぜ独立が必要なのか

期待値は独立でなくても足し算できます。しかし、分散を単純に足せるのは独立な場合です。試行どうしが影響し合うと、共分散の項が入り、$np(1-p)$ では表せません。

二項分布の条件に「各試行が独立」「成功確率が一定」と書かれているのは、単なる形式ではありません。この条件が崩れると、二項分布の公式を使えなくなります。

4. ポアソン分布

4.1 何を表す分布か

ポアソン分布は、一定時間・一定領域に起こるイベントの回数を表す分布です。

例として、次のような状況があります。

  • 1時間あたりの問い合わせ件数
  • 1日に発生する事故件数
  • 1ページあたりの誤字数
  • 一定面積あたりの傷の個数

平均発生回数を $\lambda$ とすると、

\[ X\sim Poisson(\lambda) \]

と書きます。

4.2 確率質量関数

ポアソン分布の確率質量関数は次の通りです。

\[ P(X=x)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!},\quad x=0,1,2,\ldots \]

$\lambda$ は平均発生回数です。単位時間を変えると $\lambda$ も変わる点に注意してください。例えば「1時間あたり平均3件」なら、2時間では平均6件と考えます。

例） 1時間あたり平均2件の問い合わせがあるとき、1時間に0件である確率は、

\[ P(X=0)=e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2}\approx0.135 \]

です。

4.3 期待値と分散

ポアソン分布では、期待値と分散がどちらも $\lambda$ になります。

\[ E[X]=\lambda \]
\[ Var(X)=\lambda \]

これはポアソン分布の非常に重要な特徴です。平均と分散が大きく違うデータにポアソン分布を当てはめると、モデルとして不自然な場合があります。

$\lambda$ は確率ではなく平均回数

二項分布の $p$ は0から1の確率ですが、ポアソン分布の $\lambda$ は平均発生回数です。したがって、$\lambda=3$ や $\lambda=10$ のような値も普通にありえます。

また、観測する時間や面積を2倍にすれば、平均発生回数もおおむね2倍になります。問題文に「1時間あたり」「10ページあたり」のような単位が出たら、$\lambda$ がどの範囲に対応しているかを必ず確認します。

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5. 二項分布のポアソン近似

二項分布 $B(n,p)$ で、$n$ が大きく $p$ が小さいとき、$\lambda=np$ と置くとポアソン分布で近似できます。

\[ {}_nC_xp^x(1-p)^{n-x}\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^x}{x!} \]
\[ \lambda=np \]

これは「試行回数は多いが、1回あたりの発生確率は小さい」状況です。例えば、不良品率が非常に低い製品の検査や、まれな事故の発生回数が該当します。

例） 不良品率が $0.01$ の製品を200個検査するとき、不良品数 $X$ は本来 $B(200,0.01)$ に従います。ここで、

\[ \lambda=np=200\times0.01=2 \]

なので、$X\sim Poisson(2)$ で近似できます。

不良品が0個の確率は、

\[ P(X=0)\approx e^{-2}\frac{2^0}{0!}=e^{-2} \]

です。

6. 幾何分布・負の二項分布は補足で押さえる

統計検定2級では、二項分布とポアソン分布が中心です。ただし、離散分布の関係として、幾何分布と負の二項分布も名前を見かけることがあります。

分布 何を数えるか
幾何分布 初めて成功するまでの試行回数
負の二項分布 $r$ 回成功するまでの試行回数

二項分布が「試行回数 $n$ を固定して成功回数を数える」のに対し、幾何分布や負の二項分布は「成功回数を固定して、そこまでに何回試行するか」を数えます。

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7. 試験で問われやすいポイント

論点 押さえること
ベルヌーイ分布 1回の成功/失敗。期待値 $p$、分散 $p(1-p)$
二項分布 $n$ 回の独立なベルヌーイ試行の成功回数
二項分布の分散 $np(1-p)$。母比率の標準誤差につながる
ポアソン分布 一定時間・領域の発生回数。平均と分散が $\lambda$
ポアソン近似 $n$ が大きく $p$ が小さいとき、$\lambda=np$
分布の使い分け 「成功回数」なら二項、「まれな発生回数」ならポアソン

よくあるひっかけ： ポアソン分布の $\lambda$ は確率ではありません。平均発生回数です。$0$ から $1$ の範囲に収まる必要はなく、$\lambda=3$ や $\lambda=10$ も普通にありえます。

8. 次の章への接続

離散分布では、確率を「点の和」として計算しました。次の章では、正規分布を中心に、連続型確率分布を扱います。連続分布では、確率密度の値そのものではなく、曲線の下の面積が確率になります。

二項分布の正規近似や母比率の検定を理解するためにも、正規分布と標準化は必ず押さえておきましょう。

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この章のあとに解きたい演習

本文を読んだら、次の問題で「公式を選ぶ」「条件を読む」「計算する」練習に移りましょう。